Y1–Y4 · 配合校内进度 · 全线上

IP 数学补习。
识别结构，连接知识，建立论证。

帮助 IP 学生识别陌生题目背后的结构，连接知识并建立数学论证。辅导从孩子的校内课题、近期作业与当前理解出发。

咨询适合孩子的辅导 →看一看解题示例 ↓

实时线上数学课 · 在新加坡各地都可居家学习

F9 A13–6 个月

来自我们的数学教学经验

我们的中学数学教学经验包括帮助学生在 3–6 个月内从 F9 提升至 A1。对于 G2 与 IP 学生，我们会结合学校的评分方式与孩子本身的目标安排学习。

孩子正在学习什么？

各校 IP 数学的进度和内容安排有所不同。RI 与 RGS 公布的课程重视理解、独立思考与应用。为孩子规划辅导，应先看所在学校正在教什么。

代数与函数

连接代数式、方程与图像，理解数量关系，而不只记住运算步骤。

几何与三角学

看清图形条件，找出适用性质，逐步建立有依据的解题过程。

数据、概率与高年级课题

解读资料，检验结论。进入高年级后，按学校安排讨论微积分及其他课题。

有结构的课程安排

看清章节，也看懂学习目标。

展开课题组，了解学习重点与简短回顾提示。之前学过的概念会在之后的练习中再次出现，让新课题有更稳的基础。以下为 SLC 的示例分年安排，实际进度视学校而定。我们按孩子的校内课题与评估需要，调整教学次序、深度与练习。

IP Y1 · 数、代数与数学表达3 组课题

数与比例推理
连接因数、实数、估算、比、单位率与百分比。
回顾要点：先估算，并解释使用的单位。
一次代数、图像与规律
运用代数式、方程、联立一次关系、图像与数列。
回顾要点：说明规律如何同时体现在公式和图像中。
几何、测量与统计
建立角度、多边形、面积、体积与数据解读能力，并清楚说明思路。
回顾要点：哪一种性质使这一步计算成立？

IP Y2 · 二次式与几何联系3 组课题

二次式与代数结构
连接因式分解、方程、图像、代数分式与指数。
回顾要点：把根与顶点对应到图像。
相似、圆与三角学
随学校进度，连接勾股定理、相似、三角学、圆的性质、扇形与弧度。
回顾要点：先读图，再决定使用的定理。
概率与统计解读
运用集合或结果的表示方式，比较统计图表与度量。
回顾要点：结合情境，说明数据能支持什么结论。

IP Y3 · 函数、证明与三角推理3 组课题

进一步代数与函数
拓展多项式、根式、对数、图像变换与坐标几何。
回顾要点：接受一个解之前，先检查定义域。
几何、矩阵与表示方法
连接圆方程、平面几何推理、矩阵及线性化关系。
回顾要点：解释为什么所选表示方法有帮助。
三角函数图像、方程与恒等式
连接图像、特殊角、恒等式、复角公式与等价三角形式。
回顾要点：找齐指定范围内的每一个解。

IP Y4 · 微积分与综合解题3 组课题

二项式与概率
在多步骤推理中运用展开式结构与概率表示方法。
回顾要点：使用公式前，写清适用条件。
微分、积分与运动
把导数与积分连接到图像、最值、面积、变化率及运动，并按学校要求处理相应函数。
回顾要点：答案代表哪一种物理量或几何量？
向量与综合复习
运用向量关系，在较长解答中重新连接代数、几何与三角学。
回顾要点：比较两种方法，并说明哪一种更有效。

IP Y1–Y4，逐步建立更清楚的学习方向。

以下示例重点用于规划 SLC 的 IP 教学；实际起点与节奏配合孩子的校内课题与近期作业。

2027 年中一 / IP Y1

稳稳衔接中学代数。

把数的运算连接到代数式、一次方程与直线图像；学习几何、测量及基础统计时，也能用清楚的图示和语言说明思路。

2027 年中二 / IP Y2

把方程与图像连起来。

理解二次方程与图像的关系，稳住代数分式，并通过相似形与三角学拓展几何。先理解方法为什么成立，再逐步提高熟练度。

2027 年中三 / IP Y3

连接更广的数学知识。

以多项式、根式与对数深化代数；理解函数图像变换，加强坐标几何推理，并连接三角函数的图像、方程与恒等式。

2027 年中四 / IP Y4

把已有知识用进综合题。

结合微积分、概率与向量，巩固三角学。练习跨课题选择方法、写出完整推理，并按题目条件检查答案。

SLC 解题示例

找出连接知识的那条线。

两个 SLC IP 例题连接几何证明、三角学与微积分，每一步都说明理由。

SLC IP Y2–Y3 · 相似与证明

梯形 $ABCD$ 中， $AB\parallel CD$ 、 $AB=8\text{ cm}$ 、 $CD=12\text{ cm}$ 。对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于 $O$ 。

证明 $AO:OC=BO:OD=2:3$ 。写出所用的三角形，并说明对应关系的理由。
利用第 1 部分，证明三角形 $AOD$ 与 $BOC$ 面积相等。不要根据图形的外观作判断。
若 $[AOB]=20\text{ cm}^2$ ，求 $[AOD]$ 、 $[BOC]$ 和 $[COD]$ 。

教师原图：梯形 ABCD，AB ∥ CD，AB 为 8 cm，CD 为 12 cm，对角线交于 O。 — 示意图，不按比例绘制。

展开解题思路

关键想法

相似 → 比 → 面积

解题步骤

1. 对角线的比

因为 $AB\parallel CD$ ，

\angle ABO=\angle CDO,\qquad \angle BAO=\angle DCO.

此外， $\angle AOB=\angle COD$ ，因为它们是对顶角。因此：

\triangle AOB\sim\triangle COD\quad\text{(AA)}.

对应边成比例：

\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=\frac{8}{12}=\frac23.

所以：

AO:OC=BO:OD=2:3.

2. 利用比证明面积相等

三角形 $AOD$ 与 $AOB$ 的底边分别为同一直线 $BD$ 上的 $OD$ 与 $OB$ ，且具有从 $A$ 出发的共同高。因此：

\frac{[AOD]}{[AOB]}=\frac{OD}{OB}=\frac32.

三角形 $BOC$ 与 $AOB$ 的底边分别为同一直线 $AC$ 上的 $OC$ 与 $OA$ ，且具有从 $B$ 出发的共同高。因此：

\frac{[BOC]}{[AOB]}=\frac{OC}{OA}=\frac32.

两个面积都等于 $\tfrac32[AOB]$ ，所以：

[AOD]=[BOC].

这个相等关系来自两组等高三角形的底边比，并非根据图形外观得出。

3. 计算面积

[AOD]=20\times\frac32=30\text{ cm}^2, \qquad [BOC]=20\times\frac32=30\text{ cm}^2.

对于 $COD$ ，使用两个对应边比，或把两个面积因子相乘：

\frac{[COD]}{[AOB]}=\frac{OC}{OA}\cdot\frac{OD}{OB} =\frac32\cdot\frac32=\frac94.

因此：

[COD]=20\times\frac94=45\text{ cm}^2.

验证你的答案：

在精确坐标模型 $A=(0,0)$ 、 $B=(8,0)$ 、 $D=(-2,12.5)$ 、 $C=(10,12.5)$ 、 $O=(4,5)$ 中，直接用行列式计算得 $[AOB]=20$ 、 $[AOD]=30$ 、 $[BOC]=30$ 、 $[COD]=45$ cm²。总和为 $125$ cm²，与 $\tfrac12(8+12)(12.5)$ 一致。

试做一道类似题

梯形 $PQRS$ 中， $PQ\parallel SR$ 、 $PQ=9\text{ cm}$ 、 $SR=15\text{ cm}$ ，两条对角线交于 $X$ 。若 $[PXQ]=18\text{ cm}^2$ ，证明相应的对角线比，并求 $[PXS]$ 、 $[QXR]$ 、 $[SXR]$ 。

查看答案

同样的 AA 相似论证给出 $PX:XR=QX:XS=PQ:SR=9:15=3:5$ 。由等高三角形的底边比可得：

[PXS]/[PXQ]=XS/XQ=5/3, \qquad [QXR]/[PXQ]=5/3,

所以 $[PXS]=[QXR]=18\times5/3=30\text{ cm}^2$ 。最后：

[SXR]/[PXQ]=(5/3)^2=25/9,

所以 $[SXR]=18\times25/9=50\text{ cm}^2$ 。这些结果根据延伸题的数值独立重算，并非照搬主题答案。

SLC IP Y4 · 三角学与微积分

把一块长方形面板放在四分之一圆的角落。其中一个顶点位于四分之一圆的圆心 O，相邻两边沿互相垂直的半径放置，对角顶点 P 位于圆弧上。半径为 12 m。设 $\theta$ 为 $OP$ 与水平半径之间的夹角。

机构只允许：

\frac{\pi}{6}\leq \theta\leq\frac{5\pi}{12}.

利用几何关系，为面板面积 $A(\theta)$ 建立三角函数模型，然后求最大可能面积。

四分之一圆中的长方形，O 为圆心，对角顶点 P 在圆弧上，OP 为 12 米，与水平线夹角为 θ。 — 示意图，不按比例绘制。

展开解题思路

关键想法

建模 → 检验

解题步骤

1. 面积模型

设长方形宽为 $x$ 、高为 $y$ 。由半径三角形得：

x=12\cos\theta,\qquad y=12\sin\theta.

因此：

A(\theta)=xy=144\sin\theta\cos\theta.

2. 求导

对 $\theta$ 求导（角度以弧度计）：

A'(\theta)=144(\cos^2\theta-\sin^2\theta)

A'(\theta)=144\cos(2\theta).

在驻点处：

144\cos(2\theta)=0

\cos(2\theta)=0.

在 $\pi/6\leq\theta\leq5\pi/12$ 内，唯一的解为：

\theta=\frac{\pi}{4}.

3. 比较

现在检查驻点与两个端点：

A\left(\frac{\pi}{6}\right)=144\left(\frac12\right)\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=36\sqrt3\approx62.35\text{ m}^2.

A\left(\frac{\pi}{4}\right)=144\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=72\text{ m}^2.

A\left(\frac{5\pi}{12}\right)=144\sin\left(\frac{5\pi}{12}\right)\cos\left(\frac{5\pi}{12}\right)=72\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=36\text{ m}^2.

由于 $72>36\sqrt3\approx62.35$ 且 $72>36$ ，最大值为：

\boxed{72\text{ m}^2=72.00\text{ m}^2}

此时：

\boxed{\theta=\frac{\pi}{4}=45^\circ}.

验证你的答案：

当 $\theta=\pi/4$ 时， $x=y=12/\sqrt2$ ，所以 $xy=(12/\sqrt2)^2=72\text{ m}^2$ ，与模型一致。

试做一道类似题

类似面板的半径为 $15$ m，机构允许 $\pi/3\leq\theta\leq5\pi/12$ 。建立面积模型，检查是否有允许的驻点，检验两个端点，并写出最大面积的精确值。

查看答案

$A(\theta)=225\sin\theta\cos\theta$ ，导数为 $225\cos(2\theta)$ 。驻点解 $\theta=\pi/4$ 位于允许区间之外，必须排除。两个端点处分别有 $A(\pi/3)=225\sqrt3/4\approx97.43\text{ m}^2$ 与 $A(5\pi/12)=225/4=56.25\text{ m}^2$ 。因此，最大值为 $225\sqrt3/4\text{ m}^2$ ，此时 $\theta=\pi/3$ 。另一种判断方法是： $2\theta$ 位于 $2\pi/3$ 与 $5\pi/6$ 之间，余弦为负，所以面积在整个区间内递减。此题检验为何不受限制时的正方形解并非总被允许。

找到真正需要加强的一点。

同样的分数，背后可能是不同的困难。欢迎告诉我们，孩子独立做题时通常卡在哪里。

例题会做，独立作答却卡住

比较熟悉题与变式题，找出不变的关系，以及需要换一个想法的地方。

做得快，却没有写清理由

在关键推理处停一停，让别人能够读懂每一步为何成立。

觉得校内进度吃力

先找出影响下一课题的基础概念，从最有帮助的一点补起。

研究支持的学习方法

学清楚，记得住，自己会用。

每个章节会通过简短回顾、思路说明与新练习反复巩固，帮助孩子在题目变化时仍能运用所学。

01
从完整例解学起
连接图示、方法与每一步的理由。
02
隔一段时间再回忆
先凭记忆尝试短题，再检查关键概念。
03
在之后课堂中重温
把之前的技能带回当前校内课题中。
04
混合、订正与应用
选择方法、订正错误，再独立处理新题。

间隔复习与重复巩固

核心概念会在多次课堂与练习中重现，通过简短回顾持续巩固。

主动回忆

先回忆规律、解释步骤或尝试题目，再查看笔记，也借此找出需要加强的地方。

从例解走向独立尝试

从清楚示范走向部分提示题，再随着理解加深，逐步独立完成解答。

交错练习

理解一种方法后，混合熟悉题型，让孩子练习判断应该选哪种解法。

反馈与再次尝试

找出出错步骤、订正思路，并在之后重新处理相关题目。

用语言与图示解释

把计算连接到模型或图像，并说明这一步为什么成立。

选择有帮助的练习方式。

SLC 的 BBTP 与 CBC 路径，从解题策略与考试表现两个方向支持下一步学习。

BBTP

把解题思路学清楚。

按课题练习读题、选择策略与独立解题，适合需要把思路理清楚的孩子。

了解 BBTP →

CBC

把所学稳定地用出来。

通过限时训练、混合课题练习与较高要求题目的回顾，帮助孩子在评估中更稳定地运用所学。

了解 CBC →

两方面都需要？一起安排。

结合孩子目前的需要，讨论专项学习与考试练习如何配合。

讨论数学学习计划 →

家长常问的问题。

选择课程前，先把关心的事情了解清楚。

所有 IP 学校的数学课程都一样吗？

不一样。学校会自行安排课题进度和评估任务。请告诉我们学校、年级与当前课题，方便讨论合适的辅导。

IP 数学补习就是做更难的 E Math 和 A Math 吗？

部分内容有交集，但 IP 辅导也重视解释、知识连接与灵活思考。我们从孩子的校内作业出发，讨论具体学习重点。

PSLE 后可以准备 IP Y1 吗？

可以。欢迎咨询小学升 IP 的衔接安排，连接小学解题经验、代数符号与方法说明，并告诉我们孩子将于 2027 年入读的学校。

数学课是线上的吗？

是的，SLC 数学课以线上形式进行。通过 WhatsApp 告诉我们年级、科目和学习困难，即可讨论合适的班级。

告诉我们，孩子需要哪方面的帮助。

先选择年级与咨询方向，再到 WhatsApp 补充学习情况。

可以准备什么？

在 WhatsApp 咨询时，可分享孩子近期的考试成绩，以及老师的反馈（如有）。

这些资料有什么帮助？

结合年级、科目与学习情况，讨论合适的起点，以及专项教学、考试练习或两者结合，哪一种更有帮助。

了解其他数学路径。

选择与孩子校内学习相配合的科目。

学习重点核对日期：2026 年 11 月 12 日。我们参考孩子的校内课题与近期作业，讨论下一步辅导。

核对来源（2026 年 11 月 12 日）：RI Mathematics curriculum · RGS Mathematics curriculum

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孩子正在学习什么？

代数与函数

几何与三角学

数据、概率与高年级课题

看清章节，也看懂学习目标。

数与比例推理

一次代数、图像与规律

几何、测量与统计

二次式与代数结构

相似、圆与三角学

概率与统计解读

进一步代数与函数

几何、矩阵与表示方法

三角函数图像、方程与恒等式

二项式与概率

微分、积分与运动

向量与综合复习